Au nom de Dieu clément
et miséricordieux
Ici commence le livre de la restauration et de l’opposition des nombres, composé par Mohammed El-Khuwarazmi, fils de Musa. Mohammed QSSSL dit : Louange à Dieu, le Créateur qui a accordé à l’homme le pouvoir de découvrir la signification des nombres. En méditant sur le fait que tous les besoins de l’homme exigent le calcul, j’ai découvert que toute chose implique les nombres, et que le nombre n’est rien d’autre qu’un composé d’unités. L’unité est donc inhérente à tous les nombres. Bien plus, j’ai découvert que jusqu’à dix, les nombres procèdent de l’Unité. Le nombre dix est traité de la même façon que l’unité : on peut le doubler, le tripler. Du doublement sort vingt, du triplement trente ; en multipliant de la sorte le nombre dix on parvient à cent. A son tour, le nombre cent peut être doublé ou triplé comme le nombre dix, et par multiplication il devient mille, on peut ainsi poursuivre l’investigation des nombres jusqu’à l’infini.
En outre, j’ai compris que les nombres de la restauration et de l’opposition sont divisés en trois types : racines, carrés et nombres… Composés d’unités, la racine est tout nombre supérieur à l’unité , qui se puisse multiplier par lui-même, ou encore tout nombre qui multiplié par lui-même devient inférieur à l’unité. Le carré est le résultat d’une multiplication d’une racine par elle-même.
Deux de ces trois formes peuvent être équivalentes :
- Carrés égaux à des racines
- Carrés égaux à des nombres
- Racines égales à des nombres
L’exemple suivant propose l’égalité de carrés et de racines : soit un carré égal à cinq racines. La racine du carré est donc 5 et 25 son carré qui, bien entendu égale de 5 fois sa racine.
Autre exemple : le tiers d’un carré égal à quatre racines. La racine du carré est donc 12 et le carré 144. De la même façon 5 carrés étant égaux à 10 racines, un carré vaut 2 racines et la racine du carré est 2, le carré 4.
Ce qui dépasse le carré ou lui est légèrement inférieur, doit être réduit au carré. La même opération peut être pratiquée sur les racines qui accompagnent les carrés. (…)
Omar Khayyam
Maître des sciences mathématiques et adepte de la philosophie d’inspiration grecque, en particulier de l’Ecole d’Avicenne, ce fut aussi un très grand soufi. Attaqué par les autorités religieuses, et même par certains partisans d’un soufisme plus exotérique, il n’en fût pas moins réellement gnostique et son apparent scepticisme était le signe d’une certitude absolue dans l’intuition intellectuelle. Son appartenance au soufisme est soulignée par la prééminence qu’il donne aux initiés dans la hiérarchie des pèlerins de la connaissance.
Khayyam réunit en lui plusieurs des grands types humains de l’Islam. Soufi et poète, il fut aussi philosophe, astronome et mathématicien. Mais il écrivit peu, et de ce peu, tout ne nous est pas parvenu. Il en reste néanmoins assez avec son divan et ses traités consacrés à l’existence, à la génération et à la corruption, à la physique, à la métaphysique, et avec ses travaux de mathématiques sur les axiomes d’Euclide, l’arithmétique et l’algèbre, pour attester de son universalité.
Son Algèbre est l’un des monuments de la sciences médiévale. Il sut classer et résoudre les équations jusqu’au troisième degré, généralement de façon géométrique, en préservant toujours la relation entre les inconnues, les nombres et les figures, maintenant ainsi le lien entre les mathématiques et l’inhérente valeur métaphysique de la géométrie d’Euclide.
Extrait : «Avec l’aide de Dieu qui me guide, je dis que l’art du Jabr et de la Muqabalah est une discipline mathématique dont le sujet est le nombre pur et les quantités mesurables ; inconnues, elles sont ajoutées à quelque chose de connu sur quoi l’on s’appuie pour les découvrir. Cet élément connu est soit une quantité , soit un rapport, auquel aucun autre ne soit semblable. L’art dont nous parlons a besoin des coefficients affectés à son sujet (celui de l’équation). La perfection de l’art est la connaissance des méthodes mathématiques qui permettent d’extraire les inconnues numériques et mesurables.
Ces quantités appartiennent à l’un des quatre types de quantités variables, la ligne, le plan, le volume et le temps, qui sont brièvement évoquées dans les Catégories , et de façon plus détaillée dans le livre premier de la philosophie d’Aristote. Ses partisans considèrent que le lieu en tant que plan appartient au genre «continu», mais après examen, cette conception doit être réfutée et rectifiée, car «le lieu est un plan doué de qualités particulières», mais ce débat nous éloigne de notre propos. Il n’est pas d’usage de faire mention du temps parmi les problèmes de l’algèbre, mais il est tout à fait possible de le faire. Selon l’usage des algébristes l’inconnue à découvrir est appelée «la chose», son produit par elle-même est un carré, et le produit de son carré par elle-même «le carré du carré», le produit du cube par le carré «le carré du cube», et le produit du cube par le carré «le carré du cube», et le produit du cube par lui-même «le cube du cube» et ainsi de suite.

In «Sciences et savoir en Islam» de S. H. Nasr. Editions SInbad.
Extrait d’une démonstration d’El-Khuwarazmi
(Traduit en latin en 1183 par Robert de Chester en la ville de Ségovie.)